在老旧小区中，加装电梯已成为越来越多居民的共同诉求。然而，这一看似简单的民生工程背后，往往伴随着复杂的邻里关系和法律问题。特别是当部分邻居不同意安装电梯时，申请人是否还能继续施工，成为了一个备受关注的问题。

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，加装电梯属于业主共同决定事项，需经专有部分面积占比三分之二以上的业主且人数占比三分之二以上的业主参与表决，并且应当经参与表决专有部分面积四分之三以上的业主且参与表决人数四分之三以上的业主同意。这意味着，如果多数业主支持加装电梯，而少数邻居反对，原则上是可以推进项目的。

然而，在实际操作中，即便满足了法定程序，仍可能面临个别邻居的阻挠。这些邻居可能出于对噪音、采光、隐私等方面的担忧，或者对加装电梯后的公共空间分配存在不满。在这种情况下，申请人是否有权继续施工，需要从法律和现实两个层面进行分析。

从法律角度而言，只要加装电梯的程序合法合规，且已取得必要的审批手续，如规划许可、施工许可等，那么即使个别邻居反对，也应允许项目继续推进。根据《民法典》第二百八十八条的规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。因此，如果加装电梯符合法律法规，且不会对其他住户造成实质性损害，那么反对意见不应成为阻碍施工的理由。

但在现实中，部分邻居可能会通过法律手段或非法律手段阻止施工。例如，向相关部门投诉、提起行政诉讼，甚至采取围堵工地等方式。这种情况下，申请人需要做好充分的准备，包括保留相关证据、与相关部门沟通协调，以及必要时寻求司法救济。

此外，社区调解和协商也是解决此类矛盾的重要途径。许多地方已经设立了“加装电梯议事会”或“居民议事平台”，鼓励各方通过对话达成共识。如果能够通过协商妥善解决分歧，不仅有助于维护邻里关系，也能避免不必要的法律纠纷。

值得注意的是，一些城市和地区已经出台相关政策，明确要求在加装电梯过程中必须尊重全体业主的意见，但同时也强调，对于少数反对意见，应依法依规处理，不得无理阻挠合法建设行为。这为申请人提供了有力的法律支撑。

综上所述，如果邻居不同意加装电梯，申请人是否可以继续施工，关键在于是否符合法律规定和程序要求。只要程序合法、手续完备，且未对他人权益造成实质性侵害，申请人有权继续推进施工。同时，建议通过沟通协商、社区调解等方式化解矛盾，以实现多方共赢的局面。